*FRA:  via //$
*FRA:  allora //$
*FRA:  quello che ci proponiamo di fare oggi / è [/] è uno studio di funzione //$
*FRA:  studio di funzione / cosa vuol dire ?$
*FRA:  vuol dire / mettere / su gesso / con gesso / una [///] puri numeri matematici / pure variabili /un puro insieme di [/] di numeri / che apparentemente possono sembrare / scostanti dalla realtà / ma che in realtà / hanno / una [/] una precisa valenza matematica //$
*FRA:  allora //$
*FRA:  studio di funzione vuol dire / appunto / dare una rappresentazione di / numeri / che &he [/] che ci vengono forniti mediante una relazione / che si chiama funzione //$
*FRA:  ecco / diamo la definizione di funzione // $
*FRA:  una funzione è / una relazione / o possiamo anche vederla / come una scatola //$
*FRA:  in cui +$
*FRA:  una scatola piena di [/] di / vernice //$
*FRA:  nera //$
*FRA:  se io prendo una pallina bianca / e la metto nella [/] nella scatola piena di vernice / mi verrà fuori / nera //$
*FRA:  e quindi la funzione / è qualcosa che / associa ad un numero / &i &he [/] insomma / il corrispondente / &appli / sul quale viene applicata la funzione //$
*FRA:  allora / quella che studiamo oggi / è una funzione / fratta //$
*FRA:  mh //$
*FRA:  che è del tipo f di x / uguale / linea di frazione / la copio / tre x quadro / a denominatore quattro / x alla seconda / più uno //$
*FRA:  allora //$
*FRA:  vediamo di elencare / prima di iniziare / quali sono le regole / per ?$
*FRA:  fare ?$
*FRA:  uno studio di funzione //$
*FRA:  allora / qual’ è la prima regola / Andrea / per fare / uno studio di funzione [//] un corretto studio di funzione ?$
*FRA:  la prima cosa che dobbiamo trovare / è ?$
*FRA:  cos' è ?$
*AND:  dominio //$
*FRA:  il ?$
*AND:  dominio //$
*FRA:  dominio della funzione //$
*FRA:  perfetto //$
*FRA:  il dominio della funzione //$
*FRA:  ti faccio una domanda //$
*FRA:  guardando questa funzione //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  che è una funzione / abbiamo detto ?$
*FRA:  polinomiale //$
*FRA:  quale sarà / il dominio della funzione ?$
*FRA:  o meglio / di cosa ci dovremmo &con + &megl + ’nsomma / dovremmo interessare soltanto ?$
*AND:  della +$
*FRA:  del ?$
*AND:  denominatore xxx //$
*FRA:  perfetto //$
*FRA:  quindi //$
*FRA:  prendiamo il denominatore che è quattro x alla seconda / più uno //$
*FRA:  e lo imponiamo / come ?$
*AND:  diverso da zero //$
*FRA:  diverso da zero //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  allora //$
*FRA:  questa funzione ha una particolarità //$
*FRA:  perchè / al denominatore cos’ ha ?$
*AND:  xxx //$
*FRA:  una somma / di ?$
*AND:  quadrati //$
*FRA:  di quadrati //$
*FRA:  esattamente //$
*FRA:  quattro ics / alla seconda / è la &som [///] è il quadrato di due ics / e uno / è il <quadrato di se stesso> //$
*AND:  [<] <xxx> //$
*FRA:  non può essere / mai zero //$
*FRA:  e quindi / il dominio sarà ?$
*AND:  tutti i reali //$
*FRA:  tutti i reali //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  allora / scriviamo [//] scriveremo che / il dominio / della nostra funzione / sono tutti / i / reali //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  qual’ è / la [//] il secondo ingrediente della nostra ricetta //$
*FRA:  sarà ?$
*AND:  il segno //$
*FRA:  il segno //$
*FRA:  oppure / l’ intersezione con gli assi //$
*FRA:  a piacimento //$
*FRA:  questo è a gusto tuo //$
*FRA:  segnamo / hai detto tu ?$
*AND:  segno //$
*FRA:  segno //$
*FRA:  benissimo //$
*FRA:  cosa vuol dire / calcolare il segno della funzione ?$
*FRA:  vuol dire / vedere / dove ?$
*FRA:  la funzione è positiva / <oppure negativa> //$
*AND:  [<] <negativa> //$
*FRA:  bene //$
*FRA:  come ci comportiamo ?$
*FRA:  consideriamo / prima / il ?$
*AND:  il numeratore +$
*FRA:  e lo imponiamo / maggiore o uguale / di / zero //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  allora //$
*FRA:  abbiamo / tre x / alla seconda //$
*FRA:  maggiore o uguale / a zero //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  cos’ è / tre ics alla seconda / è un ?$
*AND:  un quadrato +$
*FRA:  è un quadrato //$
*FRA:  e pertanto / com’ è un quadrato ?$
*FRA:  <sempre> ?$
*AND:  [<] <sempre> / maggiore di <zero> //$
*FRA:  [<] <maggiore> / di zero //$
*FRA:  abbiamo un accorgimento //$
*FRA:  che la funzione / lo vuole ?$
*AND:  maggiore +$
*FRA:  uguale / a zero //$
*FRA:  pertanto / quale sarà / il valore che / risolve questa disequazione ?$
*FRA:  secondo te ?$
*FRA:  se dobbiamo eguagliarla //$
*FRA:  abbiamo questo ...$
*FRA:  perché / il maggiore / vale sempre //$
*FRA:  abbiamo da risolvere / solo questa //$
*FRA:  tre ics quadro / è uguale a zero ...$
*AND:  xxx //$
*FRA:  per ics ?$
*FRA:  no / mai //$
*FRA:  quale <&val> +$
*AND:  [<] <zero> //$
*FRA:  ics / uguale a zero //$
*FRA:  perfetto //$
*FRA:  stiamo attenti / eh //$
*FRA:  per ics / uguale a zero //$
*FRA:  vediamo ora / il denominatore //$
*FRA:  maggiore di zero ?$
*FRA:  abbiamo detto / <già prima> +$
*AND:  [<] <sempre> //$
*FRA:  sempre //$
*FRA:  quindi / per ogni ...$
*AND:  per ogni ics <xxx>//$
*FRA:  [<] <ics> / appartenente / ai reali //$
*FRA:  ci siamo ?$
*FRA:  ok //$
*FRA:  allora / il segno della nostra funzione / quindi sarà ...$
*FRA:  un' unica retta / sempre positiva //$
*FRA:  vero ?$
*FRA:  ad esclusione / del valore zero //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  che è un punto / che assumerà / a quanto pare //$
*FRA:  vero ?$
*FRA:  quindi / ora / che cosa andiamo a studiare ?$
*FRA:  tiriamo sù la lavagna //$
*FRA:  andiamo a studiare / <l' intersezione> +$
*AND:  [<] hhh / <l' intersezione> / con gli assi //$
*FRA:  mh //$
*FRA:  che cosa vuol dire fare / l' intersezione con gli assi ?$
*FRA:  vorrà <dire> +$
*AND:  [<] <fare> / la funzione / <zero> //$
*FRA:  [<] <a zero> / per l' intersezione con l'asse <delle> ...$
*AND:  [<] <delle> <ipsilon> //$
*FRA:  [<] <ipsilon> //$
*FRA:  e sostituire alla ics / il valore ...$
*AND:  zero //$
*FRA:  con l' intersezione ?$
*FRA:  con l' asse delle ics //$
*FRA:  cioè vedere / dove la nostra funzione / incontra gli assi cartesiani //$
*FRA:  mh //$
*FRA:  che sono quegli assi / che / Cartesio / filosofo matematico / istituì / per meglio rappresentare la realtà //$
*FRA:  no ?$
*FRA:  ok //$
*FRA:  allora / prendiamo la nostra funzione / tre ics alla seconda / fratto quattro ics alla seconda / più uno / e / la si mette a sistema / con ics uguale a zero //$
*FRA:  vero ?$
*FRA:  quale / valore viene fuori / Andrea ?$
*FRA:  sostituiamo //$
*AND:  ti viene / zero //$
*FRA:  zero / vero ?$
*FRA:  perché / zero su uno ?$
*AND:  fa zero //$
*FRA:  qualsiasi numero / &fra [//] zero fratto qualsiasi numero / fa / <zero> //$
*AND:  [<] <zero> //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  andiamo a vedere / invece / l' altro / caso //$
*FRA:  tre ics alla seconda / fratto / quattro ics alla seconda più uno / intersezione con / ipsilon / uguale a zero / giusto ?$
*AND:  quindi xxx //$
*FRA:  bene //$
*FRA:  ics è uguale ?$
*FRA:  cosa dobbiamo fare ?$
*FRA:  dobbiamo imporre / il numeratore / uguale a zero / alla fine //$
*FRA:  e quindi / è ?$
*FRA:  ics / uguale / a zero //$
*FRA:  bene //$
*FRA:  quindi / l'unico punto / di intersezione con gli assi / è proprio ?$
*FRA:  l' origine / degli assi / cartesiani //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  cancelliamo la lavagna //$
*FRA:  già copiato ?$
*FRA:  copiato ?$
*FRA:  mh / bene //$
*FRA:  allora / il nostro / quarto ingrediente / è il calcolo degli ?$
*FRA:  asintoti //$
*FRA:  ecco //$
*FRA:  cosa sono gli asintoti ?$
*FRA:  asintoto / è una parola che deriva dal greco / che vuol dire / che / si avvicina tanto ad una retta / <mh> / fino all' infinito / ma che non la toccherà mai //$
*AND:  [<] <xxx> //$
*AND:  mai //$
*FRA:  chiaro ?$
*FRA:  come dire / avvicinarsi tanto / ad una / qualche / cosa / ma non toccarla mai //$
*FRA:  bene ?$
*FRA:  quindi / allora / asintoti //$
*FRA:  solitamente / qual' è / il primo asintoto che si controlla ?$
*FRA:  è l' asintoto ?$
*FRA:  verticale //$
*FRA:  bene ?$
*FRA:  l' asintoto verticale / però / esiste / se e soltanto se / noi escludiamo / dei valori / da dove ?$
*FRA:  dal ?$
*AND:  dal dominio //$
*FRA:  bene //$
*FRA:  dal dominio / abbiamo escluso qualcosa ?$
*AND:  nulla / xxx //$
*FRA:  pertanto / non esisteranno / asintoti / verticali //$
*FRA:  e si scrive / non esistono / asintoti / verticali //$
*FRA:  poiché la funzione / è continua / su tutta la retta reale //$
*FRA:  andiamo a controllare / se esistono asintoti / obliqui //$
*FRA:  e facciamo il limite / per ics / che tende / a più infinito / della nostra funzione //$
*FRA:  vero ?$
*FRA:  ovvero / limite / per ics che tende / a più infinito / di tre ics alla seconda / fratto quattro ics alla seconda / <più uno> //$
*AND:  questa / è l' orizzontale ?$
*FRA:  esattamente //$
*FRA:  è l'asintoto / orizzontale //$
*AND:  xxx //$
*FRA:  che cos' è un asintoto orizzontale / Andrea ?$
*FRA:  è una retta ?$
*AND:  una retta +$
*FRA:  orizzontale //$
*FRA:  del tipo ipsilon / uguale a ?$
*AND:  a <un numero> //$
*FRA:  [<] <un certo kappa> //$
*FRA:  no ?$
*FRA:  un numero kappa / che appartiene ai reali / <no> / al quale [//] alla quale retta / <la funzione si> avvicina sempre //$
*AND:  [<] <mh> //$
*AND:  [<] <si avvicina> //$
*FRA:  o da sopra / o da sotto / ancora non lo sappiamo / però non la toccherà mai //$
*AND:  mh //$
*FRA:  fino all' infinito / vero ?$
*AND:  sì //$
*FRA:  ecco / questo limite / quanto fa secondo te ?$
*FRA:  pensaci un attimo //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  abbiamo / il valore del numeratore [//] la potenza del numeratore / uguale alla potenza / del denominatore //$
*AND:  mh //$
*FRA:  quindi ?$
*FRA:  il limite fa esattamente ?$
*AND:  uno //$
*FRA:  uno ?$
*FRA:  sicuro ?$
*FRA:  proviamo a raccogliere //$
*FRA:  raccogliamo ics quadro al numeratore / e ci rimane ?$
*FRA:  tre / no //$
*AND:  xxx //$
*FRA:  poi / al denominatore / raccolgo ics quadro //$
*FRA:  mi rimane / quattro più ?$
*AND:  <quattro uno / su ics quadro> //$
*FRA:  [<] <uno / su> ?$
*FRA:  <ics quadro> //$
*FRA:  mh ?$
*AND:  uno su ics <quadro / va a zero> //$
*FRA:  [<] <quadro / va a zero> //$
*FRA:  questo / mi si semplifica //$
*AND:  vero //$
*FRA:  e che cosa mi rimane ?$
*AND:  tre su xxx / tre +$
*FRA:  tre quarti //$
*FRA:  quindi / l' asintoto orizzontale / è proprio ?$
*FRA:  la retta / ipsilon uguale / a tre quarti //$
*FRA:  perfetto //$
*FRA:  poiché la retta +$
*FRA:  o / scusami / poiché la funzione / ha / asintoto orizzontale +$
*AND:  ma / perché l' hai impostata così ?$
*AND:  dev' essere sempre / ics tendente a più infinito / <l' asintoto> orizzontale ?$
*FRA:  [<] <sì> //$
*FRA:  l' asintoto orizzontale / si trova sempre / imponendo / il limite / per ics che tende a più infinito / della mia funzione di partenza //$
*AND:  sempre / più infinito //$
*FRA:  e anche / a meno infinito //$
*FRA:  <ma nel> +$
*AND:  [<] <xxx> //$
*FRA:  come ?$
*AND:  xxx //$
*FRA:  no / si fa / entrambi i casi //$
*AND:  mh //$
*FRA:  perché qui non è necessario / o meglio / è uguale ?$
*AND:  e infatti / c' erano / tutti e due <xxx> //$
*FRA:  [<] <eh / qua> va messo tutti e due / infatti //$
*FRA:  preché è uguale ?$
*FRA:  dimmelo tu ?$
*AND:  ma perché so' quadrati //$
*FRA:  esattamente //$
*FRA:  &eiar / ogni cosa al quadrato ?$
*AND:  è sempre +$
*FRA:  positiva //$
*AND:  positiva //$
*FRA:  sia che sia negativa / che sia positiva //$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  ora +$
*FRA:  appunto / non c' è bisogno / di calcolare / l' asintoto obliquo //$
*FRA:  poiché da entrambi i versi / la nostra funzione tenderà asintoticamente / su una retta orizzontale //$
*FRA:  giusto ?$
*FRA:  quindi non esistono / asintoti obliqui //$
*AND:  bhè / infatti / xxx +$
*FRA:  che non esistono asintoti obliqui ?$
*FRA:  tu sai / che la tua funzione è continua //$
*FRA:  su tutti i reali //$
*FRA:  sai che / a meno infinito e a a più infinito / la funzione / tende asintoticamente / ad una retta //$
*FRA:  l' asintoto obliquo / equivale sempre / ad un' altra retta //$
*FRA:  però obliqua / non orizzontale //$
*FRA:  verso cui la funzione / tende ?$
*FRA:  asintoticamente //$
*FRA:  e se tende già / ad una retta / orizzontale / non è possibile &tende [/] tendere ad una retta / obliqua //$
*FRA:  chiaro ?$
*FRA:  molto bene //$
*FRA:  allora / facciamo le nostre / derivate //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  che cos' è la derivata ?$
*FRA:  la derivata / è un concetto molto nuovo nella matematica //$
*FRA:  l' ha scoperto / un certo / Pierre De Fermat //$
*FRA:  che era un matematico / filosofo / insomma / molto bravo //$
*FRA:  più che altro / era un / giurista //$
*FRA:  che ha fatto [//] che ha dato tanti problemi alla matematica / dell' ultimo millennio / hhh //$
*FRA:  allora / la derivata //$
*FRA:  guardiamo la nostra funzione //$
*FRA:  è una funzione / fratta //$
*FRA:  mh ?$
*FRA:  quindi / la derivata / di questa funzione / che indichiamo con / effe primo di ics / sarà / derivata del numeratore / per denominatore fermo / meno / numeratore fermo per +$
*AND:  denominatore //$
*FRA:  derivato / tutto fratto ?$
*AND:  &he //$
*FRA:  il denominatore / al quadrato //$